Question

直線y=x+b與拋物線x²=2y交于A、B兩點（異于坐標原點O），且OA⊥OB，則b的值為（　　）

A．2

B．-2

C．1

D．-1

Answer 1

分析：聯立直線和拋物線方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數關系求出兩個交點的橫縱坐標的積，由OA⊥OB轉化為其數量積等于0，代入坐標的乘積后求解b的值．

解答：解：聯立

y=x+b x2=2y

，得：x²-2x-2b=0．
因為直線y=x+b與拋物線x²=2y交于A、B兩點，
則（-2）²-4×（-2b）=4+8b＞0．
且x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b．
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2
=-2b+2b+b²=b²．
由OA⊥OB，得

OA

•

OB

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=0，-2b+b²=0，因為b≠0，所以b=2．
滿足△=4+8×2=20＞0．
故選A．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了利用數量及判斷兩個向量的垂直關系，訓練了一元二次方程的根與系數的關系，是中檔題．