Question

已知直L₁：2x-y=0，L₂：x-2y=0．動圓（圓心為M）被L₁L₂截得的弦長分別為8，16．
（Ⅰ）求圓心M的軌跡方程M；
（Ⅱ）設直線y=kx+10與方程M的曲線相交于A，B兩點．如果拋物y²=-2x上存在點N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+4²=d₂²+8²．所以|

2x-y

5

|2-|

x-2y

5

|2=48，由此能求出圓心M的軌跡方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+10 x2-y2=80

，得（1-k²）x²-20kx-180=0．AB的中點為(

10k

1-k2

，

10

1-k2

)，AB的中垂線為y-

10

1-k2

=-

1

k

(x-

10k

1-k2

)，由

y2=-2x y=- 1 k x+ 20 1-k2

，得y2-2ky+

40k

1-k2

=0．由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），M到L₁，L₂的距離分別為d₁，d₂，則d₁²+4²=d₂²+8²．…（2分）
∴|

2x-y

5

|2-|

x-2y

5

|2=48，
∴x²-y²=80，即圓心M的軌跡方程M：x²-y²=80．  …（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+10 x2-y2=80

，
得（1-k²）x²-20kx-180=0．        ①
∴AB的中點為(

10k

1-k2

，

10

1-k2

)，…（6分）
∴AB的中垂線為y-

10

1-k2

=-

1

k

(x-

10k

1-k2

)，即y=-

1

k

x+

20

1-k2

，…（7分）
由

y2=-2x y=- 1 k x+ 20 1-k2

，得y2-2ky+

40k

1-k2

=0      ②…（8分）
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的條件是：①有相異二解，并且②有解． …（9分）
∵①有相異二解的條件為

1-k2≠0 (-20k)2-4(1-k2)×(-180)＞0

，
∴

k2≠ 1 k2＜ 9 4

?-

3

2

 ＜k＜

3

2

且k≠±1．③…（10分）
②有解的條件是V=4k2-4×

40k

1-k2

≥0，∴

k

k2-1

(k3-k+40)≥0，④…（11分）
根據導數知識易得-

3

2

＜k＜

3

2

時，k³-k+40＞0，
因此，由③④可得N點存在的條件是：-1或1＜k＜

3

2

．   …（12分）

點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．