Question

已知函數f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數的極大值和極小值，若函數f（x）有三個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x³-

3

2

x²+1，得f（2）=3，且f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．由此能求出曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），令f（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．列表討論，能夠求出函數f（x）的極大值和極小值，并且極小值小于0，極大值大于0，求解即可得到函數f（x）有三個零點時a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x³-

3

2

x²+1，得f（2）=3，
且f′（x）=3x²-3x，f′（2）=6．
所以，曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y-3=6（x-2），
整理得6x-y-9=0；
（Ⅱ）函數f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）
令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
由于a＞0，故0＜

1

a

，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數f（x）在x=0處取得極大值f（0），且f（0）=1，
函數f（x）在x=

1

a

處取得極小值f（

1

a

），且f（

1

a

）=1-

1

2a2

．
若函數f（x）有三個零點，
只需f（

1

a

）=1-

1

2a2

＜0即可，即得a2＜

1

2

．
又a＞0，因此0＜a＜

2

2

故所求a的取值范圍為{a|0＜a＜

2

2

}．

點評：考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調性以及根據函數的增減性得到函數的極值．靈活運用分類討論的數學思想解決數學問題．本題考查利用導數研究函數的極值，導數的引入，為研究高次函數的極值與最值帶來了方便．