Question

已知函數f（x）=1+sin

π

2

x，若有四個不同的正數x_i滿足f（x_i）=M（M為常數），x_i＜8，（i=1，2，3，4），則x₁+x₂+x₃+x₄的值為（　　）

• A、10
• B、14
• C、12
• D、12或20

Answer 1

分析：由f（x）=M 在兩個周期之內有四個解，則在在一個周期內必有兩個解，表示出四個解來相加可得．

解答：解：∵f（x）=M 在兩個周期之內有四個解，
∴sin

π

2

x=-1+M在一個周期內有兩個解
當M-1＞0時，四個根中其中兩個關于x=1對稱，另兩個關于x=5對稱，故其和為2×1+5×2=12．
 當M-1＜0時，四個根中其中兩個關于x=3對稱，另兩個關于x=7對稱，故其和為2×3+7×2=20．
綜上得：x₁+x₂+x₃+x₄=12或20．
故選：D．

點評：本題主要考查三角函數的周期性及三角方程有多解的特性，但都有相應的規律，與周期有關．