Question

若x=

π

6

是函數f（x）=

3

sinωx+cosωx圖象的一條對稱軸，當ω取最小正數時（　　）

• A．f（x）在（0，

  π

  6

  ）單調遞增
• B．f（x）在（-

  π

  3

  ，-

  π

  6

  ）單調遞減
• C．f（x）在（-

  π

  6

  ，0）單調遞減
• D．f（x）在（

  π

  6

  ，

  π

  3

  ）單調遞增

Answer 1

分析：利用輔助角公式將f（x）=

3

sinωx+cosωx化為f（x）=2sin（ωx+

π

6

），結合題意可求得ω的關系式，繼而可求得ω，從而可判斷函數的單調性．

解答：解：∵f（x）=

3

sinωx+cosωx
=2sin（ωx+

π

6

），
又x=

π

6

是f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的圖象的一條對稱軸，
∴ω×

π

6

+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴ω=6k+2，k∈Z，
又ω取最小正數，
∴k=0，ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得：
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z．
顯然，當k=0時，（0，

π

6

）⊆[-

π

3

，

π

6

]．
故A正確，D不正確；
同理可求，f（x）=2sin（2x+

π

6

）的單調遞減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．
當k=-1時，其遞減區間為[-

5π

6

，-

π

3

]，當k=0時，其遞減區間為[

π

6

，

2π

3

]，
顯然B，C都不符合題意．
故選A．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查正弦函數的對稱性與單調性，求得ω的值是關鍵，也是難點，屬于中檔題．