Question

 已知函數f (x) =

（1）若函數y = f (x)存在零點a² + 1，且直線y = x – 1與函數y = f (x)的圖象相切，求a的值．       

（2）當b = 1時，討論f (x)的單調性．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）由f (a² + 1) = 0得+ ln1= 0，∴= 0即b = 0．設直線y = x–1與曲線y = f (x)切點為P(x₀，y₀)，則，

∴x₀ – a² = 1，∴x₀ – 1 = 0，x₀ = 1，∴a = 0．……5分

（2）b = 1時，f (x) = ，f (x)定義域為(a²，+∞)．       

f′(x) = ，設h (x) = x² – x + a²，二次方程h (x) = 0對應的判別式= 1 – 4a²．……6分

①當＜0即a＞或a＜–時，對一切x＞a²，都有f′(x)＞0，此時f (x)是(a²，+∞)上的單調遞增函數．……7分

②當=0即a =±時，僅對x = 有f′(x) = 0，對于其余的x＞a²都有f′(x)＞0．此時f (x)是(a²，+∞)上的單調遞增函數．……8分       

③當＞0即–＜a＜時，方程h (x) = 0有兩個不同實根x₁ = ，a²＜x₁＜x₂，f (x)，f′(x)隨x的變化如下表．

x	(a2，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，+∞)
f′(x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	極大值	↓	極小值	↑

此時y=f (x)在上單調遞增，在上單調遞減．在上單調遞增．  ……13分