Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，．過點(diǎn)做四棱錐的截面，分別交，，于點(diǎn)，已知，為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）在上取點(diǎn)，且滿足，連接，，可證是平行四邊形，即可證明結(jié)論；

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用線面角公式計算即可求解．

（Ⅰ）證明：在上取點(diǎn)，且滿足，

連接，，則，且，

因為，

所以，且

所以是平行四邊形，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）過點(diǎn)作與平行的射線，易證兩兩垂直，

所以以為軸，以為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則有，

設(shè)平面的法向量為，則

，令，解得

所以是平面的一個法向量

因為點(diǎn)在上，所以

因為平面，所以，

解得，所以

或如下證法：因為平面且平面平面，

所以，

所以，

因為為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則

，令，解得

所以是平面的一個法向量，，

所以與平面所成角的正弦值為．