Question

設定義在R上的函數f(x)=

1 |x-2|     x≠2 1           x=2

，若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個不同實數解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，則下列說法中錯誤的是（　　）

A．x12+x22+x32=14

B．1+a+b=0

C．a²-4b=0

D．x₁+x₃=4

Answer 1

分析：關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個解，則必然含有x=1這樣一個解，另外2個則在分段函數的另一段里面，剛好它是個絕對值函數，可以提供2個不同自變量時為同一值．既然含有x=1的解，此時f（1）=1，我們知道另外2個值也是1的肯定也能滿足方程，所以關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有3個不同實數解時，f（x）=1，從而可得結論．

解答：解：分段函數的圖象如圖所示
由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
∵

1

|x-2|

=1時，x=1或2
∴關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有3個不同實數解時，
解分別是1，2，3，且x₁=1，x₂=2，x₃=3，
∴x12+x22+x32=1+4+9=14，x₁+x₃=4，
∵f（x）=1，∴1+a+b=0
∵a²-4b=a²+4a+4=（a+2）²≥0
∴C不正確
故選C．

點評：本題主要考查函數的零點與方程根的關系、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．