Question

（2013•杭州二模）已知雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，A，B是雙曲線的兩個頂點．P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上．P關于y軸的對稱點是Q，若直線AP，BQ的斜率分別是k₁，k₂，
且k₁•k₂=-

4

5

，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A．

  3 5

  5

• B．

  9

  4

• C．

  3

  2

• D．

  9

  5

Answer 1

分析：設P（m，n），則Q（-m，n），利用直線的斜率公式算出k₁、k₂關于m、n、a的式子，得到關于m、n、a的等式并利用雙曲線方程化簡得-

a2

b2

=-

4

5

，化簡可得a=

2

3

c，即可算出雙曲線的離心率．

解答：解：設P（m，n），則Q（-m，n）
∵A、B是雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個頂點，
∴A（0，-a），B（0，a），
可得AP斜率k₁=

n+a

m

，BQ的斜率k₂=

n-a

-m

∴k₁•k₂=

n+a

m

•

n-a

-m

=-

4

5

，即

a2-n2

m2

=-

4

5

，
∵點P（m，n）在雙曲線上，可得m2=b2(

n2

a2

-1)=

b2

a2

(n2-a2)，
∴

a2-n2

m2

=

a2-n2

b2 a2  (n2-a2)

=-

4

5

，即-

a2

b2

=-

4

5

由此可得5a²=4b²=4（c²-a²），解之得a=

2

3

c．
∴雙曲線的離心率是e=

c

a

=

3

2

．
故選：C

點評：本題著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、直線的斜率公式和直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．