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已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且|AB|=，動點P滿足（O為坐標(biāo)原點），點P的軌跡記為曲線C。
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點，求證：為定值。
解：（1）∵
∴P為線段AB的中點
∵A，B分別在直線y=x和y=-x上
∴
又
∴
∴點P在以原點為圓心，為半徑的圓上
∴點P的軌跡C的方程為；
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+m
∵l與C相切
∴
∴
聯(lián)立
∴
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，
又
∴·=0
當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為
帶入橢圓方程得或
此時，
綜上所述為定值0。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且|AB|=
4
5
5
，動點P滿足2
OP
=
OA
+
OB
（O為坐標(biāo)原點），點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓
x2
4
+y2=1交于M、N兩點，求證：
OM
•
ON
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且數(shù)學(xué)公式，動點P滿足數(shù)學(xué)公式（O為坐標(biāo)原點），點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓數(shù)學(xué)公式交于M、N兩點，求證：數(shù)學(xué)公式為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年吉林省高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷3（解析版） 題型：解答題

已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且，動點P滿足（O為坐標(biāo)原點），點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年河南省許昌市許昌縣一高高考數(shù)學(xué)模擬試卷4（文科）（解析版） 題型：解答題

已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且，動點P滿足（O為坐標(biāo)原點），點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點，求證：為定值．

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