Question

已知函數f（x）=e^x•（ax²-2x-2），a∈R且a≠0，當a＞0時，求函數f（|cosx|）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：欲求函數f（|cosx|）的最大值和最小值，利用導數研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值最小值．
解答：解：f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=．（（3分））
設|cosx|=t（0≤t≤1），只需求函數y=f（t）（0≤t≤1）的最大值和最小值．（7分）
令f′（x）=0，解得或x=-2．
∵a＞0，∴．
當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

函數f（x）在（-∞，-2）和上單調遞增；在上單調遞減；（9分）
當，即0＜a≤2時，函數f（t）在[0，1]上為減函數．y_min=f（1）=（a-4）e，y_max=f（0）=-2．
當，即a＞2時，函數f（x）的極小值為[0，1]上的最小值，
∴．
函數f（t）在[0，1]上的最大值為f（0）與f（1）中的較大者．
∵f（0）=-2，f（1）=（a-4）e．
∴當時，f（1）＞f（0），此時y_max=f（1）=（a-4）e；
當時，f（1）=f（0），此時y_max=f（0）=f（1）=-2；
當時，f（1）＜f（0），此時y_max=f（0）=-2．（12分）
綜上，當0＜a≤2時，f（|cosx|）的最小值為（a-4）e，最大值為-2；
當時，f（|cosx|）的最小值為，最大值為-2；
當時，f（|cosx|）的最小值為，最大值為（a-4）e．（13分）
點評：本小題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究曲線單調性等基礎知識，考查運算求解能力和分類討論思想．屬于基礎題．