Question

已知函數y=sin2x+

1

2

sinx+1(x∈R)，若當y取得最大值時x=α，當y取得最小值時x=β，且α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，則sin（α-β）=

15

4

．

Answer 1

分析：根據sinx的值域，利用二次函數的性質求出y的最大值時x的值，確定出α的值，求出y最小值時x的值，確定出β的值，即可求出sin（α-β）的值．

解答：解：函數y=（sinx+

1

4

）²+

15

16

，
∵-1≤sinx≤1，
∴當sinx=-

1

4

時，函數y取得最小值

15

16

；當sinx=1時，函數y取得最大值為

5

2

，
∴sinα=1，sinβ=-

1

4

，
∵α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cosα=0，cosβ=

15

4

，
則sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=1×

15

4

-0=

15

4

．
故答案為：

15

4

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二次函數的性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．