Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，若數列{a_n}的各項按如下規律排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，…，

1

n

，

2

n

，…，

n-1

n

，…有如下運算和結論：
①a23=

3

8

；
②S11=

31

6

③數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比數列
④數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n項和為Tn=

n2+n

4

；
⑤若存在正整數k，使S_k＜10，S_k+1＞10，則ak=

5

7

．
在后面橫線上填寫出所有你認為正確運算結果或結論的序號

 

．

Answer 1

分析：根據數列的規律，分母為n時，所對應的項數是（n-1）項．從分母是2開始到分母為n結束共有

n(n-1)

2

項
①前23項構成的數列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

…

1

8

，

2

8

，則第23項一目了然．
②易知：前11項構成的數列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，再求和便知正誤．
③數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…實際上是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，再由數列定義判斷
④數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…實際上是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，先判斷數列類型，再用求其前n項和．
⑤通過④的前n項和解不等式，確定k的值，從而再判斷終止的項．

解答：解：①前23項構成的數列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

…

1

8

，

2

8

∴a23=

2

8

，故不正確；
②由數列可知：前11項構成的數列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

∴s₁₁=

1

2

+

1

3

+

2

3

+

1

4

+

2

4

+

3

4

+

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

+

1

6

=

31

6

，故正確；
③數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，

n-1

2

由等差數列定義

n-1

2

-

n-2

2

=

1

2

（常數），所以是等差數列，故不正確．
④∵數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

．
由③知是等差數列，所以由等差數列前n項和公式可知：Tn=

n2+n

4

，故正確；
⑤由④知數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅，a₁₆+a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀+a₂₁，是

1

2

，1，

6

4

，2，

5

2

，

1

7

+

2

7

+…+

6

7

∴T₅=7.5＜10，T₆=10.5＞10，∴ak=

5

7

，正確．
故答案為：②④⑤

點評：本題主要考查探究數列的規律，轉化數列，構造數列來研究相應數列通項和前n項和問題，這種題難度較大，必須從具體到一般地靜心研究，再推廣到一般得到結論．