Question

【題目】已知拋物線過點，且P到拋物線焦點的距離為2直線過點，且與拋物線相交于A，B兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若點Q恰為線段AB的中點，求直線的方程；

（Ⅲ）過點作直線MA，MB分別交拋物線于C，D兩點，請問C，D，Q三點能否共線？若能，求出直線的斜率；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）能，.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，結合拋物線的性質，即可求出拋物線的方程為。

（Ⅱ）設，，設而不求利用點差法求出直線AB的斜率，再利用點斜式即可求出直線的方程。

（Ⅲ）設，，，，且.聯立直線與拋物線方程，得到聯立方程，再利用韋達定理以及M，A，C三點共線得出的數量關系，假設C，D，Q三點共線，構造關于 的等式，轉化為的等式，進行求解即可得出結論。

（Ⅰ）由題意有，及，

解得.故拋物線的方程為.

（Ⅱ）設，，則， ，

兩式相減得，即.

于是，，

（注：利用直線與拋物線方程聯立，求得，同樣得4分）

故直線l的方程為，即；

（Ⅲ）設，，，，且.

由，得，則， ，

由M，A，C三點共線，可得，化簡得，即.

同理可得， ，

假設C，D，Q三點共線，則有，化簡得，

進一步可得，，即，解得.

因此，當直線l的斜率時，C，D，Q三點共線.