Question

數列{a_n} 滿足a₁=2，（n∈N₊）．
（Ⅰ）設b_n=，求數列{b_n}的通項公式b_n；
（Ⅱ）設c_n=，數列{c_n}的前n項和為S_n，求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵（n∈N₊），
∴，
∵b_n=，a₁=2，
∴，
，
，
…
，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=1+（1+）+（2+）+…+（n-1+）
=1++=．
（Ⅱ）∵，b_n=，
∴=，，
∴c_n==
=
=
=，
∴
=+
=，
∵遞減，
∴0＜，
∴，
即．
分析：（Ⅰ）由（n∈N₊），知，由b_n=，a₁=2，知，，，…，，由累加法能求出數列{b_n}的通項公式b_n．
（Ⅱ）由，b_n=，知=，，故c_n===，故S_n=，由此能證明．
點評：本題考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要注意培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．