Question

【題目】設橢圓的方程為（），點為坐標原點，點， 的坐標分別為， ，點在線段上，滿足，直線的斜率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線交橢圓于， 兩點，交軸于點（），問是否存在實數使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求的值，若不存在，說出理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）設點的坐標，由及直線的斜率為，即可求得，從而求出橢圓的方程；（2）設直線方程： ，聯立橢圓方程，消去，得關于的一元二次方程，設， ，結合韋達定理，可得與，假設存在實數使得以為直徑的圓恒過點，則，由，即可求出的值.

試題解析：（1）設點的坐標， ， ，

， ，

∴

∴橢圓的方程．

（2）設直線方程： ，代入，得，

設， ，則， ，

假設存在實數使得以為直徑的圓恒過點，則．

∴， ， ，

即，得，

整理得

∴（∵），當時，符合題意