Question

設正實數a，b滿足等式2a+b=1且有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立，則實數t的取值范圍是

t≥

2

2

．

Answer 1

分析：正實數a，b滿足等式2a+b=1⇒4a²+b²=1-4ab，故有2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立?t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

恒成立，故t需大于或等于4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

的最大值，由基本不等式可求得

ab

的最大值，從而得到4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

的最大值，問題解決了．

解答：解：∵a＞0，b＞0，2a+b=1，
∴4a²+b²=1-4ab，
∴2

ab

-4a²-b²≤t-

1

2

恒成立可轉化為：t≥2

ab

-（1-4ab）+

1

2

恒成立；
又2

ab

-（1-4ab）+

1

2

=4ab+2

ab

-

1

2

=4 (

ab

+

1

4

) 2-

3

4

，
∴t≥[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

] max（a＞0，b＞0，2a+b=1），
由基本不等式可得：1=2a+b≥2

2ab

，故

ab

≤

2

4

（當且僅當2a=b=

1

2

時取“=”），
∴[4(

ab

+

1

4

)2-

3

4

]max=4(

2

4

+

1

4

)2-

3

4

=

3+2 2

4

-

3

4

=

2

2

．
故答案為：t≥

2

2

．

點評：本題考查函數恒成立問題，難點在于對條件中“-4a²-b²”的觀察與應用，著重考查基本不等式的性質與函數單調性及對恒成立問題的理解與應用，屬于難題．