Question

在平面直角坐標系中，已知點P（1，-1），過點P作拋物線T₀：y=x²的切線，其切點分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁與x₂的值；
（Ⅱ）若以點P為圓心的圓E與直線MN相切，求圓E的面積；
（Ⅲ）過原點O（0，0）作圓E的兩條互相垂直的弦AC，BD，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=x²先求出y′=2x．再由直線PM與曲線T₀相切，且過點P（1，-1），得到x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或x1=1+

2

．同理可得x2=1-

2

，或x2=1+

2

，然后由x₁＜x₂知x1=1-

2

，x2=1+

2

．
（Ⅱ）由題意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，則直線MN的方程為：2x-y+1=0．再由點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，可求出圓E的面積．
（Ⅲ）四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|，設圓心E到直線AC的距離為d₁，垂足為E₁，圓心E到直線BD的距離為d₂，垂足為E₂；
由此可求出四邊形ABCD面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由y=x²可得，y′=2x．（1分）
∵直線PM與曲線T₀相切，且過點P（1，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-1

，即x₁²-2x₁-1=0，
∴x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或x1=1+

2

，（3分）
同理可得：x2=1-

2

，或x2=1+

2

（4分）
∵x₁＜x₂，∴x1=1-

2

，x2=1+

2

．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
則直線MN的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，--（6分）
∴直線M的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2x-y+1=0．（7分）
∵點P到直線MN的距離即為圓E的半徑，即r=

|2+1+1|

4+1

=

4

5

，（8分）
故圓E的面積為S=πr2=

16π

5

．（9分）
（Ⅲ）四邊形ABCD的面積為S=

1

2

|AC|•|BD|
不妨設圓心E到直線AC的距離為d₁，垂足為E₁；
圓心E到直線BD的距離為d₂，垂足為E₂；
則|AC|=2

r2- d 2 1

，|BD|=2

r2- d 2 2

，（10分）
由于四邊形EE₁OE₂為矩形．且d₁²+d₂²=|OE|²=（1-0）²+（-1-0）²=2（11分）
所以S=

1

2

|AC|•|BD|=2

r2- d 2 1

•

r2- d 2 2

由基本不等式2ab≤a²+b²可得
S≤(

r2- d 2 1

)2+(

r2- d 2 2

)2=2r2-(

d

2 1

+

d

2 2

)=

22

5

，
當且僅當d₁=d₂時等號成立．（14分）
注：（Ⅲ）解法較多，閱卷時可酌情給分．

點評：本題考查直線和圓錐軾線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．