Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，1³+2³+3³+…+n³=

n2(n+1)2

4

．

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=

12×22

4

=1，
∴等式成立…2分
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，即1³+2³+3³+…+k³=

k2(k+1)2

4

…4分
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=

k2(k+1)2

4

+（k+1）³…6分
=（k+1）²•（

k2

4

+k+1）
=（k+1）²•

k2+4k+4

4

=

(k+1)2(k+2)2

4

=

(k+1)2[(k+1)+1]2

4

…8分
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立…9分
根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)n∈N^*等式成立…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．