Question

已知直線l經過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點．
（1）若點A（5，0）到l的距離為3，求l的方程；
（2）求點A（5，0）到l的距離的最大值，并求此時l的方程．

Answer 1

分析：（1）當斜率存在時，設出直線方程y-1=k（x-2），先聯立兩條直線的解析式求出兩條直線的交點坐標代入直線方程即可求出k；當斜率不存在時，驗證是否符合題．從而得出答案．
（2）先由題意可知點A（5，0）到直線l的距離最大時即為P（2，1）與A（5，0）確定的直線與直線l垂直，根據兩直線垂直時斜率乘積為-1得到直線l的斜率，即可得到直線l的方程．

解答：解：（1）聯立

2x+y-5=0 x-2y=0

得交點P （2，1）．設l的方程為
y-1=k（x-2）（k存在），即 kx-y-2k+1=0          
∵

|5k-2k+1|

k2+1

=3，得（3k+1）²=9（k²+1），
即k=

4

3

，∴l的方程為4x-3y-5=0．
當k不存在時，直線l：x=2，此時點A（5，0）到l的距離也為3．
∴直線l的方程為 x=2或4x-3y-5=0…（6分）
（2）由

2x+y-5=0 x-2y=0

解得交點P（2，1），
如圖，過P任作一直線l，設d為定點A到l的距離，則d≤|PA|（當l⊥PA時等號成立）．
∴d_max=|PA|=

10

，k_PA=-

1

3

，又k_l×k_PA=-1，∴k_l=3
∴直線l的方程y-1=3（x-2）即：3x-y-5=0．…（12分）

點評：考查學生會根據兩直線方程求出交點坐標，會根據斜率和一點坐標求直線的一般式方程．要求學生要會靈活運用點到直線的距離公式求值，同時會利用兩直線垂直時斜率乘積為-1解決數學問題．