Question

18．若△ABC為等腰三角形，∠ABC=$\frac{2}{3}$π，則以A，B為焦點且過點C的橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：設AB=BC=1，假設AB在x軸上，設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由余弦定理可知：丨AC丨²=3，則丨AC丨=$\sqrt{3}$，2a=$\sqrt{3}$+1，a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，2c=1，c=$\frac{1}{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設AB=BC=1，假設AB在x軸上，設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由余弦定理可知：丨AC丨²=丨AB丨²+丨BC丨²-2丨AB丨•丨BC丨•cosB=1+1-2×1×1×（-$\frac{1}{2}$）=3
∴丨AC丨=$\sqrt{3}$，
∵以A、B為焦點的橢圓經過點C，
∴2a=$\sqrt{3}$+1，a=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，2c=1，c=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$．

點評 本題考查余弦定理的運用，考查橢圓的幾何性質及標準方程的應用，屬于基礎題．