Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓，直線，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線分別交直線和于點．

（1）求弦長的最小值；

（2）在直線上任取一點，當的斜率時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的弦長，可分類，當斜率不存在時，得弦長為，當斜率存在時，設直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得的一元二次方程：，從而有（也可解出），弦長為，這樣可以把弦長用表示出來，求出其最小值或證明它大于，說明是最小值；（2）由向量的數量積定義可得，由于，由（1）可得中點的坐標，從而得方程，又得點坐標，最后得長，得數量積．

試題解析：（1）①當軸時，；

②當與軸不垂直時，設直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，

則的坐標為，

且．

綜合①、②知，弦長的最小值為

（2）若，則的坐標為，

點的坐標為，

∴

∴