Question

如圖（1）是一個水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中點，正三棱柱的正（主）視圖如圖（2）．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）證明：A₁B∥平面ADC₁；

Answer 1

證明：（1）依題意，在正三棱柱中，，
AA₁=3，從而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的體積 =．
（2）連接A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=E，
連接DE，因為AA₁C₁C是正三棱柱的側(cè)面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中點，
所以DE是△A₁BC的中位線，DE∥A₁B，
因為DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．
分析：（1）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面積，求出高AA₁，即可求出體積；
（2）連接A₁C，證明A₁B平行平面ADC₁內(nèi)的直線DE，即可證明A₁B∥平面ADC₁．
點評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．