Question

在平面直角坐標系中，動點到兩條坐標軸的距離之和等于它到點的距離，記點的軌跡為曲線.

(I) 給出下列三個結論：

①曲線關于原點對稱；

②曲線關于直線對稱；

③曲線與軸非負半軸，軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于；

其中，所有正確結論的序號是_____;

(Ⅱ)曲線上的點到原點距離的最小值為______.

 

Answer 1

【答案】

②③； 

【解析】

試題分析：(I)P點到兩坐標軸距離分別為 曲線方程為 ，該方程中用分別替換原方程中的方程改變，所以曲線不關于原點對稱；而用分別替換原方程中的方程不變，所以曲線關于直線對稱．曲線與x軸非負半軸，軸非負半軸圍成的封閉圖形即為與x軸非負半軸，軸非負半軸圍成的封閉圖形，由化簡得：，它的圖象可由向左平移一個單位，再向下平移1個單位而得到，它的圖象與兩坐標軸的交點為，結合圖象可知： ，故正確的序號為②③．(Ⅱ) 由得： ，即，當時，該式可化簡為；當時，該式可化簡為

，即或，進而可以畫出曲線，結合圖象可知，曲線與直線 在第一象限的交點距離原點最近，由解得：，故最短距離為 ．

考點：曲線與方程．