Question

若一直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，且OA⊥OB，點O在直線AB上的射影為D（2，1），求拋物線方程．

Answer 1

【答案】分析：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），根據OD斜率為且OD⊥AB可知AB斜率為-2，進而可得直線AB的方程．將直線方程與拋物線方程聯立根據韋達定理可求得x₁x₂和y₁y₂的關于p的表達式，最后根據OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=0，把x₁x₂和y₁y₂代入即可求得p，進而得到拋物線方程．
解答：解：設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由于OD斜率為，OD⊥AB
則AB斜率為-2，
故直線AB方程為2x+y-5=0…①
將（1）代入拋物線方程得
y²+py-5p=0
則y₁y₂=-5p
因（y₁）²=2px₁；（y₂）²=2px₂
則（y₁y₂）²=4（p²）x₁x₂
故x₁x₂=
因OA⊥OB
則x₁x₂+y₁y₂=0
p=
∴拋物線方程：y²=x
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．屬基礎題．