Question

【題目】如圖，已知的邊所在直線的方程為，滿足，點在邊所在直線上且滿足.

（1）求邊所在直線的方程；

（2）求外接圓的方程；

（3）若動圓過點，且與的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由已知可得為，由邊所在直線的方程為，可求直線的斜率，點在直線上，利用直線的點斜式可求；（2）與的交點，聯立方程可求的坐標，由結合直角三角形的性質可得的外接圓的圓心，進而可求，外接圓的方程可求；（3）由題意可得，即，結合圓錐曲線的定義可求軌跡方程.

試題解析：（1），又在上，

，為，

又邊所在直線的方程為，所以直線的斜率為，又因為點

在直線上，所以邊所在直線的方程為：，即.

（2）與的交點為，所以由

解得點的坐標為，，為斜邊上的中點，即為外接圓的圓心，又，

從而外接圓的方程為:.

（3）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，

所以，即.

故點的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線的左支.

因為實半軸長，半焦距.

所以虛半軸長.

從而動圓的圓心的軌跡方程為.