Question

（本小題滿分12分）

     如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,

,點在線段上.

   （I）當點為中點時，求證：∥平面；

   （II）當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）  

【解析】本試題主要是考查了線面平行的判定和二面角的求解和錐體體積公式的運用。

（1）以以直線、、分別為軸、軸、軸建立空間

直角坐標系，然后表示直線的方向向量，和平面的法向量，利用向量的垂直關系來證明線面平行。

（2）結合已知條件中平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，得到三棱錐的高，然后求解體積。

解：（1）以直線、、分別為軸、軸、軸建立空間

直角坐標系，則，，，所以.

∴————————2分

    又，是平面的一個法向量.

    ∵即

    ∴∥平面——————4分

     （2）設，則，

又

設，則，即.——6分

 設是平面的一個法向量，則

         

取 得       即 

又由題設，是平面的一個法向量，——————8分

∴   ————10分

即點為中點，此時，，為三棱錐的高，

∴      ————————————12分