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設向量
e1
，
e2
的夾角為60°且|
e1
|=|
e2
|=1，如果
A
B=
e1
+
e2
，
B
C=2
e1
+8
e2
，
C
D=3(
e1
-
e2
)．
（1）證明：A、B、D三點共線．
（2）試確定實數k的值，使k的取值滿足向量2
e1
+
e2
與向量
e1
+k
e2
垂直．
分析：（1）利用向量共線證明三點共線，先將
BD
表示為
BC
 與
CD
的和，再證明
BD
=λ
AB
，最后說明
AB
，
BD
有公共點B，即可證明A、B、D三點共線
（2）因為向量
e1
，
e2
的夾角為60°且|
e1
|=|
e2
|=1，所以
e1
•
e2
=
1
2
，故可將向量
e1
，
e2
作為基底，研究2
e1
+
e2
與向量
e1
+k
e2
垂直的問題，利用向量垂直的充要條件列方程即可得k值
解答：解：（1）∵
AB
=
e1
+
e2
，
BD
=
BC
+
CD
=5
e1
+5
e2

∴
BD
=5
AB
即
AB
，
BD
共線，
∵
AB
，
BD
有公共點B
∴A，B，D三點共線．
（2）∵(2
e1
+
e2
)⊥(
e1
+k
e2
)
∴(2
e1
+
e2
)•(
e1
+k
e2
)=0
2
e1
2+2k
e1
e2
+
e1
e2
+k
e2
2=0
∵|
e1
|=|
e2
|=1，且
e1
•
e2
=|
e1
|• |
e2
|cos60°=
1
2

∴2+k+
1
2
+k=0
解得k=-
5
4
點評：本題考察了向量共線的充要條件，向量垂直的充要條件，向量數量積運算性質及應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設單位向量
e1
，
e2
的夾角為60°，則向量3
e1
+4
e2
與向量
e1
的夾角的余弦值是（　　）
A、
3
4
B、
5
37
C、
25
37
D、
5
37

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科目：高中數學 來源： 題型：

設向量
e1
 和
e2
 是夾角為60° 的兩個單位向量，則向量
e1
+2
e2
 的模為
7
7
．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省肇慶市高三復習必修4測試D數學 題型：選擇題

設單位向量e1、e2的夾角為60°，則向量3e1＋4e2與向量e1的夾角的余弦值是（    ）

A.            B.           C.               D.

 

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設向量
e1
，
e2
的夾角為60°且|
e1
|=|
e2
|=1，如果
A
B=
e1
+
e2
，
B
C=2
e1
+8
e2
，
C
D=3(
e1
-
e2
)．
（1）證明：A、B、D三點共線．
（2）試確定實數k的值，使k的取值滿足向量2
e1
+
e2
與向量
e1
+k
e2
垂直．

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