Question

【題目】在平面直角坐標系 中，以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系. 曲線 的極坐標方程為 ， 為曲線 上異于極點的動點，點 在射線 上，且 成等比數列．
（Ⅰ）求點 的軌跡 的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知 , 是曲線 上的一點且橫坐標為 ，直線 與 交于 兩點，試求 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）設 ， ，
則由 成等比數列，可得 ，
即 ， ．
又 滿足 ，即 ，
∴ ，
化為直角坐標方程為 .
（Ⅱ）依題意可得 ，故 ，即直線 傾斜角為 ，
∴直線 的參數方程為
代入圓的直角坐標方程 ，
得 ，
故 ， ，
∴
【解析】本題考查的知識要點：參數方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線和圓的極坐標方程、參數方程等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想等．曲線的極坐標方程定義：如果曲線C上的點與方程f（ρ，θ）=0有如下關系:
（1）曲線C上任一點的坐標（所有坐標中至少有一個）符合方程f（ρ，θ）=0；
（2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解為坐標的點都在曲線C上．
則曲線C的方程是f（ρ，θ）=0．
【考點精析】通過靈活運用參數方程的定義，掌握在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數的函數并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程即可以解答此題．