Question

已知△ABC中，設a，b，c，分別為∠A，∠B，∠C的對邊長，AB邊上的高與AB邊的長相等，則

b

a

+

a

b

+

c2

ab

的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：由S_△ABC=

1

2

c²=

1

2

absinC，

b

a

+

a

b

+

c2

ab

=

a2+b2+c2

ab

，再結合余弦定理即可求得答案．

解答：解：△ABC中，
∵AB邊上的高與AB邊的長相等，即S_△ABC=

1

2

c²，
又S_△ABC=

1

2

absinC，
∴c²=absinC，
∴在△ABC中，由余弦定理得：

b

a

+

a

b

+

c2

ab

=

a2+b2+c2

ab

=

c2+2abcosC+c2

ab

=

2c2

ab

+2cosC．
=2sinC+2cosC
=2

2

sin（C+

π

4

）≤2

2

，當C=

π

4

時取到等號．
∴所求關系式的最大值為2

2

．
故答案為：2

2

．

點評：本題考查余弦定理與正弦定理，考查輔助角公式，考查轉化與化歸思想，屬于難題．