Question

有一家公司準備裁減人員．已知這家公司現有職員4a（40＜a＜120，a∈Z）人，每人每年可創純利5萬元．據評估，在經營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創純利0.1萬元，但公司需付下崗職員生活費等每人每年4萬元，并且該公司正常運轉所需人數不得少于現有職員的．
（Ⅰ）若該公司裁減x人，可獲得的經濟效益為y萬元，求y關于x的函數關系式；
（Ⅱ）該公司為獲得最大的經濟效益，應裁員多少人？

Answer 1

解：（ I）設裁員x人，可獲得的經濟效益為y萬元，則y=（4a-x）（5+0.1x）-4x．
整理得…（5分）
又由該公司正常運轉所需人數不得少于現有職員的，
所以，即0＜x≤a…（7分）
（Ⅱ）因函數的對稱軸方程為x=2a-45．
由二次函數的圖象可知：
當x＜2a-45時，函數是遞增的；
當x＞2a-45時，函數是遞減的．
∵0＜x≤a．且40＜a≤120
∴①當0＜2a-45≤a，即40＜a≤45時，x=2a-45時，
函數取得最大值…（10分）
②當2a-45＞a，即45＜a＜120時，x=a時，
函數取得最大值…（12分）
綜上所述：當40＜a≤45時，應裁員（2a-45）人；當45＜a＜120時，應裁員a人，公司才能獲得最大的經濟效益…（13分）
分析：（ I）設裁員x人，根據每裁員1人，則留崗職員每人每年多創純利0.1萬元，但公司需付下崗職員生活費等每人每年4萬元，可得經濟效益的函數，利用該公司正常運轉所需人數不得少于現有職員的，確定函數的定義域；
（Ⅱ）確定函數的對稱性，分類討論，確定函數的最值，即可得到結論．
點評：本題考查函數模型的構建，考查分類討論的數學思想，考查學生利用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．