Question

(本小題滿分14分)

已知，函數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）對（2）中的，若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：∵，∴. ……………………………………1分

∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，∴在上恒成立．……2分

即在上恒成立，  …………………………………………………………………3分

，∴．

故實數(shù)的取值范圍為．…………………………………………………………………4分

（2）解：∵，令得．…………………………5分

①若，則當時，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以．…………………………………………………………………………6分

②若，即，則當時，，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以．…………………………………………………………………………7分

③若，即，則當時，；當時，．

所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．

所以．…………………………………………………………………8分

④若，即，則當時，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．

所以．……………………………………………………………………9分

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間的最小值………………10分

（3）解：由題意有兩個不相等的實數(shù)解，

即（2）中函數(shù)的圖像與直線有兩個

不同的交點．……………………………………………11分

而直線恒過定點，

由右圖知實數(shù)的取值范圍是．………………14分

 

【解析】