Question

（2011•武昌區模擬）已知點M（x，y）與點A₁（-1，0），A₂（1，0）連線的斜率之積為3．
（I）求點M的軌跡方程；
（II）是否存在點M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點B（-2，0）和點C（0，2）的距離之和最小？若存在，求出點M（x，y）的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先表示出兩連線的斜率，利用其乘積為3建立方程，化簡即可得到點M的軌跡方程．
（II）假設存在點M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點B（-2，0）和點C（0，2）的距離之和最小．由（Ⅰ）可知，點M（x，y）在雙曲線x2-

y2

3

=1(x≠±1)的右支上，利用|MB|+|MC|=|MC|+|MF|+2≥|CF|+2=2

2

+2，當三點C，M，F共線時，|MB|+|MC|取得最小值，將直線CF：x+y=2代入雙曲線x2-

y2

3

=1(x≠±1)，可求點M的坐標．

解答：解：（Ⅰ）直線MA₁和MA₂的斜率分別為

y

x+1

與

y

x-1

(x≠±1)，…（2分）
依題意，點M（x，y）與點A₁（-1，0），A₂（1，0）連線的斜率之積為3
∴

y

x+1

×

y

x-1

=3，即y²-3x²=-3．
所求軌跡方程為x2-

y2

3

=1(x≠±1)． …（5分）
（Ⅱ）假設存在點M（x，y）（x＞1），使M（x，y）到點B（-2，0）和點C（0，2）的距離之和最小
由（Ⅰ）可知，點M（x，y）在雙曲線x2-

y2

3

=1(x≠±1)的右支上，
由雙曲線的定義知右焦點為F（2，0），…（6分）
∵|CF|=2

2

且|MB|-|MF|=2，即|MB|=|MF|+2．…（8分）
所以|MB|+|MC|=|MC|+|MF|+2≥|CF|+2=2

2

+2．…（10分）
當三點C，M，F共線時，|MB|+|MC|最小值為2

2

+2．…（11分）
這時，直線CF：x+y=2代入雙曲線x2-

y2

3

=1(x≠±1)，得2x²+4x-7=0．
解得x=-1±

3

2

2

，
因為x＞1，所以x=-1+

3

2

2

，此時y=2-x=3-

3 2

2

．
因此存在一點M(-1+

3

2

2

，3-

3 2

2

)，使|MB|+|MC|最小．…（12分）

點評：本題的考點是雙曲線的簡單性質，主要考查利用坐標建立方程，考查雙曲線的定義，同時考查最值問題的求解，屬于中檔題．