Question

【題目】將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計(jì)、面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線(xiàn)l1，l2裁剪成A，B，C三個(gè)矩形（B，C全等），用來(lái)制成一個(gè)柱體．現(xiàn)有兩種方案：

方案①：以為母線(xiàn)，將A作為圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)圓形作為圓柱的兩個(gè)底面；

方案②：以為側(cè)棱，將A作為正四棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖，并從B，C中各裁剪出一個(gè)正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個(gè)底面．

（1）設(shè)B，C都是正方形，且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑；

（2）設(shè)的長(zhǎng)為dm，則當(dāng)為多少時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）設(shè)所得圓柱的半徑為，根據(jù)矩形薄鐵皮的面積為100，即可求得的值；（2）設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 ，根據(jù)題意得.方法一：表示出正四棱柱的體積，構(gòu)造函數(shù)，求得單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值，從而得體積最大值及的值；方法二：表示出的范圍，從而得到的范圍，再表示出正四棱柱的體積，即可求得最大值及的值.

試題解析：（1）設(shè)所得圓柱的半徑為，則，

解得．

（2）設(shè)所得正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為dm，則即

方法一：

所得正四棱柱的體積

記函數(shù)則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí)， ．

∴當(dāng)， 時(shí)， dm3．

方法二：

，從而．

所得正四棱柱的體積．

∴當(dāng)， 時(shí)， dm3．

答：（1）圓柱的底面半徑為dm；

（2）當(dāng)為時(shí)，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大．