Question

已知直線l的參數(shù)方程是

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+

π

4

）．
（Ⅰ）求圓心C的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用三角函數(shù)的和角公式展開(kāi)圓C的極坐標(biāo)方程的右式，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得圓C的直角坐標(biāo)方程，從而得到圓心C的直角坐標(biāo)．
（II）欲求切線長(zhǎng)的最小值，轉(zhuǎn)化為求直線l上的點(diǎn)到圓心的距離的最小值，故先在直角坐標(biāo)系中算出直線l上的點(diǎn)到圓心的距離的最小值，再利用直角三角形中邊的關(guān)系求出切線長(zhǎng)的最小值即可．

解答：解：（I）∵ρ=

2

cosθ-

2

sinθ，∴ρ2=

2

ρcosθ-

2

ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-

2

x+

2

y=0，
即(x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1，∴圓心直角坐標(biāo)為(

2

2

，-

2

2

)．（5分）
（II）∵直線l的普通方程為x-y+4

2

=0，
圓心C到直線l距離是

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5，
∴直線l上的點(diǎn)向圓C引的切線長(zhǎng)的最小值是

52-12

=2

6

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．