Question

設α、β、r為平面，m、n、l為直線，以下四組條件：①α⊥β，α∩β=l，m⊥l②α∩r=m，α⊥r，β⊥r；③α⊥r，β⊥r，m⊥α；④n⊥αn⊥β，m⊥α；可以作為m⊥β的一個充分條件是    ．

Answer 1

【答案】分析：題中線面關系既復雜又抽象，注意到其中包含大量的垂直關系，故可以在正方體內觀察，結合線面垂直，面面垂直，線線垂直的判定及性質定理，逐一對已知中的四個結論進行判斷即可得到答案．
解答：解：①記面AD₁為α，面AC為β，則AD為l，若視AB為m，m⊥l，但m在面β內，故①不滿足條件；
②若α、β、γ兩兩垂直，則可以得到m⊥β，但該條件中沒有α⊥β，故反例只可能存在于此處，記面AD₁為α，面BB₁D₁D為β，面AC為γ，則AD為m，但m與β成45°角，故②不滿足條件；
③注意到m⊥α，只要α、β不平行，就得不到m⊥β，記面AD₁為α，面BB₁D₁D為β，面AC為γ，視AB為m，但m與β成45°角，故③不滿足條件；
④由n⊥α，n⊥β得α∥β，再由m⊥α得m⊥β；故只有④滿足條件
故答案為：④
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，在判斷空間線面的關系，常常把他們放在空間幾何體中來直觀的分析，在判斷線與面的平行與垂直關系時，正方體是最常用的空間模型，大家一定要熟練掌握這種方法．另外熟練掌握線線、線面、面面平行（或垂直）的判定及性質定理是解決此類問題的基礎．