Question

【題目】在直三棱柱中，、、、分別為中點，.

（1）求證：平面．

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連接，根據直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點，根據中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.

（2）取的中點，連接，以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，則．，再分別求得平面和平面的一個法向量，利用面面角的向量公式

求解.

（1）證明：如圖所示：

取中點，連接，易知，

、分別為的中點，∴，

∴．

故四邊形為平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

平面．

（2）取的中點，連接，以為原點，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

如圖所示：

則．

∴，

設平面的法向量為，

則，

即，取，得，

易知平面的一個法向量為，

∴，

∴二面角的余弦值為．