Question

【題目】如圖，⊙O1與⊙O2交于P、Q兩點(diǎn)，⊙A的弦以與⊙O2相切，⊙O2的弦PB與⊙O1相切，直線PQ與△PAB的外接圓⊙O交于另一點(diǎn)R.證明：PQ=QR.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

聯(lián)結(jié)O1O2，分別與PQ、PO交于點(diǎn)M、N，則O1O2⊥PQ，且M為PQ的中點(diǎn).聯(lián)結(jié)PO1、PO2、OOl、OO2、OQ、OR.

因?yàn)?/span>PA與⊙O2相切，所以，PA⊥PO2.

又PA為⊙O1與⊙O的公共弦，則PA⊥O1O.

于是，PO2∥O1O.

類似地，PO1∥O2O.

所以，四邊形PO1OO2為平行四邊形.

從而，N為PO的中點(diǎn).

由M為PQ的中點(diǎn)，知MN∥OQ，即O1O2∥OQ.

因?yàn)?/span>O1O2⊥OQ，所以，OQ⊥PR.

又OP=OR，故Q為PR的中點(diǎn)，即PQ=QR.