Question

已知函數f（x）=

3

x-1

（x∈[2，6]）．試判斷此函數在x∈[2，6]上的單調性并求函數在x∈[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先用定義判斷單調性，根據單調性可求得函數的最大值最小值．

解答：解：設x₁、x₂是區間[2，6]上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

3

x1-1

-

3

x2-1

=

3[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

3(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2≤x₁＜x₂≤6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數f（x）=

3

x-1

是區間[2，6]上的減函數．
因此，函數f（x）=

3

x-1

在區間的兩個端點上分別取得最大值與最小值，
最大值f（2）=3，最小值f（6）=

3

5

．

點評：本題考查函數單調性的判斷及其應用，考查函數最值的求解，數基礎題．