Question

已知a為實數，f(x)=(x²-4)(x-a)

(Ⅰ)求導數f′(x)；

(Ⅱ)若f′(-1)=0，求f(x)在[-2，2]上的最大值和最小值；

(Ⅲ)若f(x)在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是遞增的，求a的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)由原式得f(x)=x³-ax²-4x+4a，

∴f′(x)=3x²-2ax-4．

(Ⅱ)由f′(-1)=0得a=，此時有

f(x)=(x²-4)(x-)，f′(x)=3x²-x-4．

由f′(x)=0得x=或x=-1,

又f()=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,

所以f(x)在[-2，2]上的最大值為，最小值為．

(Ⅲ)解：f′(x)=3x²-2ax-4的圖像為開口向上且過點(0，-4)的拋物線，由條件得f′(-2)≥0,f′(2)≥0，

即   ∴-2≤a≤2.

所以a的取值范圍為[-2，2].