Question

本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分．
已知a為實數，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）求證：對于任意實數a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）當f（x）是奇函數時，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）總有實數根，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)
∴f（x）的導數為f'（x）=-

-2×2xln2

(2x+1)2

=

2x+1ln2

(2x+1)2

＞0在（-∞，+∞）上恒成立
∴對于任意實數a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）因為f（x）是R上的奇函數，所以f(0)=a-

2

20+1

=0，可得a=1．
∴f(x)=1-

2

2x+1

=

1-2x

2x+1

，
令y=

1-2x

2x+1

，可得2^x=

1+y

1-y

，x=log₂

1+y

1-y

，（-1＜y＜1）
∴函數f（x）的反函數為：f-1(x)=log2

1+x

1-x

(-1＜x＜1)
由log2

1+x

1-x

=log2(x+t)得

1+x

1-x

=x+t，即-1+

2

1-x

=x+t，
∴t=(1-x)+

2

1-x

-2≥2

2

-2
當且僅當1-x=

2

1-x

，即x=1-

2

時等號成立，
所以，t的取值范圍是[2

2

-2，+∞)．