Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，s_n表示該數列前n項的和，且對任意正整數n，恒有2s_n=a_n（a_n+1），設bn=

n

i=1

1

an+i

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：無窮數列{b_n}為遞增數列；
（3）是否存在正整數k，使得bn＜

k

10

對任意正整數n恒成立，若存在，求出k的最小值．

Answer 1

分析：（1）n=1時，2s₁=a₁（a₁+1），s₁=a₁，a₁＞0，解得a₁=1；n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，2s_n=a_n（a_n+1），2s_n-1=a_n-1（a_n-1+1），作差整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．由此能求出a_n．
（2）由b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

an+1+i

-

n

i=1

1

an+i

=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，能夠證明無窮數列{b_n}為遞增數列．
（3）由b3=

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

6

10

，知若存在正整數k，必有k≥7．有bn=

n

i=1

1

an+i

=bn=

n

i=1

1

n+i

=bn=

2n

i=1

1

i

-

n

i=1

1

i

=

2n

i=1

1

i

-2

n

i=1

1

2i

=

n

i=1

1

(2i-1)2i

．當n≥4時，由

n

i=4

1

(2i-1)2i

＜

n

i=4

1

(2i-2)(2i-1)

，知

n

i=1

1

(2i-1)2i

-

1

2

-

1

12

-

1

30

＜

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

-

1

6

-

1

20

．由此能導出存在正整數k使得bn＜

k

10

對任意正整數n恒成立，且k的最小值為7．

解答：解：（1）n=1時，2s₁=a₁（a₁+1），s₁=a₁，a₁＞0，
解得a₁=1．
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，
2s_n=a_n（a_n+1），2s_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
作差得2a_n=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
對n≥2時恒成立，因此數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
故a_n=n；
（2）∵b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

an+1+i

-

n

i=1

1

an+i

=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
對任意正整數n恒成立∴無窮數列{b_n}為遞增數列．
（3）存在，且k的最小值為7．
∵b3=

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

6

10

，
∴若存在正整數k，
必有k≥7．
又bn=

n

i=1

1

an+i

=bn=

n

i=1

1

n+i

=bn=

2n

i=1

1

i

-

n

i=1

1

i

=

2n

i=1

1

i

-2

n

i=1

1

2i

=

n

i=1

1

2i-1

-

n

i=1

1

2i

=

n

i=1

(

1

2i-1

-

1

2i

)=

n

i=1

1

(2i-1)2i

當n≥4時，
∵

n

i=4

1

(2i-1)2i

＜

n

i=4

1

(2i-2)(2i-1)

∴

n

i=1

1

(2i-1)2i

-

1

2

-

1

12

-

1

30

＜

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

-

1

6

-

1

20

即

n

i=1

1

(2i-1)2i

＜

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

+

2

5

∴2bn=2

n

i=1

1

an+i

=2

n

i=1

1

(2i-1)2i

＜

n

i=1

1

(2i-1)2i

+

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

+

2

5

=

2n

i=2

(

1

i-1

-

1

i

)+

2

5

＜

2n

i=2

(

1

i-1

-

1

i

)+

2

5

=1-

1

2n

+

2

5

＜

7

5

∴bn＜

7

10

；
因此存在正整數k使得bn＜

k

10

對任意正整數n恒成立，
且k的最小值為7．

點評：本題考查數列與不等式的綜合利用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．