Question

已知a＞0,a≠1,設P:函數y=log_a(x+1)在x∈（0,+∞）內單調遞減;Q:曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于不同的兩點,如果P和Q有且只有一個正確,求a的取值范圍.

Answer 1

解：當0＜a＜1時,函數y=log_a(x+1)在(0,+∞)內單調遞減.當a＞1時,y=log_a(x+1)在(0,+∞)內不是單調遞減;曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于兩點等價于(2a-3)²-4＞0,即或.??

(1)若P正確,且Q不正確,即函數y=log_a(x+1)在(0,+∞)內單調遞減,曲線y=x²+?(2a-3)x+1與x軸不交于兩點,因此a∈（0,1）∩(［,1）∪（1, ］),即a∈［,1）.

(2)若P不正確,且Q正確,即函數y=log_a(x+1)在(0,+∞)內不是單調遞減,曲線y=x²+(2a-3)x+1與x軸交于兩點,因此a∈(1,+∞)∩(（0,）∪（,+∞）),即a∈（,+∞）.?

綜上,a的取值范圍為［,1）∪（,+∞）.

點評：本題考查對數函數與二次函數的單調性及簡易邏輯等,還考查了分類討論的思想方法.