Question

【題目】已知圓的圓心的坐標為，且圓與直線：相切，過點的動直線與圓相交于，兩點，直線與直線的交點為.

（1）求圓的標準方程；

（2）求的最小值；

（3）問：是否是定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) . (2) ； (3) 是定值，定值為-10.

【解析】

（1）根據圓與直線：相切，即圓心到直線的距離等于半徑，求出半徑，即可寫出圓；

（2）根據知當為最大值時，有最小值；

（3）設中點為，，再設直線，聯立方程組，計算即可得出。

解：（1）∵圓與直線：相切，圓心為，

∴半徑，

∴圓的方程為.

（2）∵，其中是圓心到直線的距離，

∴最大時，最小.

∵當是弦中點時，最大，且，

∴的最小值為.

（3）設中點為，則即，∴，

且，

∴.

當與軸垂直時，方程為，代入圓方程得，

∴中點的坐標為，直線與直線的交點坐標為，

∴.∵，∴，

∴；

當與軸不垂直時，設方程為，

由，得，

∴，

∴，

∴，

∴是定值，定值為-10.