Question

設(shè)p是△ABC內(nèi)的一點，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑．
證明

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

．

Answer 1

分析：對待證不等式

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

的左邊進(jìn)行配湊后應(yīng)用柯西不等式，結(jié)合三角形中邊的幾何性質(zhì)ax+by+cz=2S=2•

abc

4R

=

abc

2R

進(jìn)行放縮即得．

解答：證明：由柯西不等式得，

x

+

y

+

z

=

ax

1 a

+

by

1 b

+

cz

1 c

≤

ax+by+cz

•

1 a + 1 b + 1 c

記S為△ABC的面積，則ax+by+cz=2S=2•

abc

4R

=

abc

2R

（5分）

x

+

y

+

z

≤

abc 2R

ab+bc+ca abc

=

1

2R

ab+bc+ca

≤

1

2R

a2+b2+c2

故不等式成立．（10分）

點評：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個證明方法叫綜合法．