Question

設f^-1（x）是函數f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）的反函數，則使f^-1（x）＞1成立的x的取值范圍為（　　）

• A、（

  a2-1

  2a

  ，+∞）
• B、（-∞，

  a2-1

  2a

  ）
• C、（

  a2-1

  2a

  ，a）
• D、[a，+∞）

Answer 1

分析：本題考查反函數的概念、求反函數的方法、解指數方程、解不等式等知識點，有一定的綜合性；
首先由函數f（x）=

1

2

（a^x-a^-x）（a＞1）求其反函數，要用到解指數方程，整體換元的思想，將a^x看作整體解出，然后由f^-1（x）＞1構建不等式解出即可．

解答：解：由題意設y=

1

2

（a^x-a^-x）整理化簡得a^2x-2ya^x-1=0，
解得：ax=y± 

y2+1

∵a^x＞0，∴ax=y+

y2+1

，
∴x=log_a（y+

y2+1

）
∴f^-1（x）=log_a（x+

x2+1

）
由使f^-1（x）＞1得log_a（x+

x2+1

）＞1
∵a＞1，∴x+

x2+1

＞a
由此解得：x＞

a2-1

2a

故選A

點評：本題雖為小題，看似簡單，實際上綜合性強，用到多方面的知識和方法，更需要一定的運算能力；
尤其在求x時難度大些，不僅要用換元思想把a^x看作整體求解，還要根據范圍舍去ax=y-

y2+1