Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為，且它的圖象過（0，1）點，求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）將（Ⅰ）中的函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）的圖象在上至少出現(xiàn)一個最高點或最低點，則正整數(shù)ω的最小值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為，求出函數(shù)的周期，得到ω，且它的圖象過（0，1）點，求出ϕ，即可求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）利用將（Ⅰ）中的函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求出函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）f（x）的圖象在上至少出現(xiàn)一個最高點或
最低點，則，即可求出ω的最小值．
解答：解：（Ⅰ）
=
=（3分）
由題意得，所以ω=2所以
又因為y=f（x）的圖象過點（0，1），
∴
又∵0＜φ＜π
∴
∴（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個單位后，得到的圖象，
再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的圖象．
即（9分）
令，則
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．（12分）
（Ⅲ）若f（x）的圖象在上至少出現(xiàn)一個最高點或
最低點，則，即ω＞100π，又ω為正整數(shù)，
∴ω_min=315．（15分）
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查函數(shù)的基本性質(zhì)，求出ω的最小值的條件，是解題的關(guān)鍵．