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設橢圓的中心為原點O，一個焦點為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t．

（1）求橢圓的方程；

（2）設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q、點P在該直線上，且，當t變化時，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

答案：
解析：

解：（1）設所求方程為

＝1（a>b>0）

由題意得解得

所以橢圓的方程為

（2）設經過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為Q（x₁，y₁），P（x,y）

有得

因為

所以或

而t＞1，于是點P的軌跡方程為：

x²＝y（x＞）和x²＝y（x＜

點P的軌跡為拋物線x²＝y在直線x=右側的部分和拋物線x²＝y在直線x＝左側的部分.

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（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；
（Ⅱ）過B₁做直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB₂⊥QB₂，求直線l的方程．

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（2013•金山區一模）設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．過B₁作直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直線l的方程；
（3）設直線l與圓O：x²+y²=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，若t∈[4，2

]，求△B₂PQ的面積S的取值范圍．

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