Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點．
（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證AM∥平面BDE，直線證明直線AM平行平面BDE內的直線OE即可，也可以利用空間直角坐標系，求出向量，在平面BDE內求出向量，證明二者共線，說明AM∥平面BDE，
（Ⅱ）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，說明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空間直角坐標系，求出，說明是平面DFB的法向量，求出平面DAF的法向量，然后利用數量積求解即可．
解答：解：方法一
（Ⅰ）記AC與BD的交點為O，連接OE，
∵O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，
∴四邊形AOEM是平行四邊形，
∴AM∥OE
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（Ⅱ）在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂線定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角
在Rt△ASB中，
∴，
∴二面角A-DF-B的大小為60°
方法二
（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系
設AC∩BD=N，連接NE，
則點N、E的坐標分別是（、（0，0，1），
∴=（，
又點A、M的坐標分別是
（）、（
∴=（
∴=且NE與AM不共線，
∴NE∥AM
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴為平面DAF的法向量
∵=（•=0，
∴=（•=0得，∴NE為平面BDF的法向量
∴cos＜＞=
∴的夾角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°
點評：本題考查直線與平面平行，二面角的知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題