Question

在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：(a＞b＞0)的右焦點為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R，S，若線段RS的長為，
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若橢圓C上存在兩個不同的點關于直線l：y=9x+m對稱，求實數m的取值范圍；
(Ⅲ)若P為橢圓C在第一象限的動點，過點P作圓x²+y²=5的兩條切線PA，PB，切點為A，B，直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求△MON（O為坐標原點）面積的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，橢圓過點，
故，解得，
橢圓C的方程為；
（Ⅱ）設D，E是橢圓C上關于直線l：y=9x+m對稱的兩點，
可設直線DE的方程為，
代入橢圓C的方程，得，
由Δ＞0得，
線段DE的中點G的坐標為，
點G在直線l上，故，解得，
把代入，解得；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則直線PA的方程為x₁x+y₁y=5，
直線PB的方程為x₂x+y₂y=5，
直線PA，PB均過點P，故x₁x₀+y₁y₀=5，x₂x₀+y₂y₀=5，
因此，直線AB的方程為x₀x+y₀y=5，
故，
△MON的面積，
而，所以，
當且僅當時等號成立，
此時，，即△MON面積的最小值為。